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電化學(xué)阻抗譜數(shù)學(xué)理論（EIS-Math）

1 技術(shù)理論

阻抗的定義是衡量電路在施加交流電通過時困難程度。它類似于歐姆定律，但與歐姆定律不同的是，阻抗可以根據(jù)施加電位或電流頻率的函數(shù)而變化。

在EIS實驗中，如果施加的信號是電位而測量的結(jié)果是電流，則稱為“恒電位EIS"。當(dāng)施加的信號是電流而測量的結(jié)果是電位時，它被稱為“恒流EIS"。對于恒電位EIS，施加電位的形式如式1所示:

其中為潛在的正弦波幅度，為角頻率，為時間，項表示波形的相位。如果足夠小，使得系統(tǒng)是線性的，則生成的電流波形也是正弦的，并且與輸入信號具有相同的頻率;但也可能發(fā)生相移，如式2所示:

其中為當(dāng)前正弦波幅度，為相位角位移。 需要對施加的和產(chǎn)生的波形(公式1和2)進行更方便的數(shù)學(xué)重排，以清楚顯示測量的阻抗。這是通過歐拉公式使用復(fù)數(shù)坐標(biāo)來實現(xiàn)的，歐拉公式定義為:

其中表示虛單位(不是傳統(tǒng)的符號，以防止與表示電流的符號混淆)，是任何實數(shù)。將代入類似于式1和式2形式的角度，其中為任意給定的相位角位移，所有項乘以給定的恒定振幅，則式3重新排列如下:

方程4的右邊是一個復(fù)數(shù)，而左邊只包含一個實數(shù)。因此通過等同方程兩邊的實部，得到以下表達式:

其中是數(shù)字的實部。等式5右邊的第二項被消除了，因為它是虛數(shù)，并且運算符從左邊被刪除，因為實數(shù)的余弦值也是實數(shù):

方程6進一步簡化如下:

其中是所有定常項的集合，相當(dāng)于以下內(nèi)容:

利用式7，分別將式1和式2中所示的外加電位和響應(yīng)輸出電流波形改寫為:

其中定不因時間變化的常量和等價于:

阻抗有效性的一個條件是穩(wěn)定性(即穩(wěn)態(tài)或定常)。

因此，根據(jù)公式9至12，阻抗表達式類似于歐姆定律如下:

將式11和式12代入式13可得:

式中為阻抗幅度，等價于。利用歐拉公式(式3)，最終將式14展開為:

這種數(shù)學(xué)上的重新排列允許分別計算阻抗的實部，相當(dāng)于和虛部相當(dāng)于

在EIS實驗中，大多數(shù)商業(yè)軟件包自動對每個頻率的輸入和輸出信號進行傅里葉變換，以提取和的相應(yīng)值。然后將這些值與公式15一起用于計算和。因此，典型EIS實驗的結(jié)果是一個包含五列的數(shù)據(jù)表: 、、、和。

2 參考文獻

NON